Técnicas de Conteo: Permutación y Combinación.

Para calcular una probabilidad por el método clásico, debe ser posible cuantificar el número de eventos y el espacio muestral. Entonces, las listas y árboles se vuelven inmanejables a medida que el experimento se torna más complejo. Por ello, se requieren métodos de conteo alternos.

Las permutaciones y las combinaciones, son dos tipos comunes de problemas de conteo. La permutación, es un arreglo de objetos de orden definido y la combinación, es una selección de objetos en cualquier orden.

La comprensión de los métodos basados en permutación depende de la comprensión de los conceptos matemáticos de permutaciones y combinaciones.

Cálculo combinatorio.

Antes de poder hacer cálculos, es necesario determinar algunas cosas:

1. Las cantidades: debemos determinar cuántos elementos hay en total, y cuántos vamos a tomar. En el ejemplo, tomar 5 cartas de un mazo de 52.
2. La naturaleza: debemos determinar si estamos tomando todos los elementos disponibles, o sólo algunos de ellos. Por ejemplo, tomando 5 cartas entre 52, importará cuáles tomamos (es decir, importa la naturaleza de la selección). En cambio, si solamente nos interesa de cuántas formas podemos ordenar 5 libros, no nos interesa la naturaleza, porque no tenemos que elegir determinados libros sino que vamos a estar trabajando con los 5 al mismo tiempo.
3. El orden: debemos determinar si nos interesa o no nos interesa el orden en que tomamos los elementos. Por ejemplo, si nos importa el orden, tirar un dado y sacar un 5 y luego un 3, no es lo mismo que sacar un 3 y luego un 5. Serían dos resultados distintos. En cambio si no nos importa el orden, sacar un 5 y luego un 3 ó un 3 y luego un 5 es lo mismo, y los dos casos constituirán un único resultado.
4. La repetición: tiene que ver con si se puede elegir más de una vez o no el mismo elemento. Por ejemplo, si en una caja hay una bolita blanca, una negra, y una violeta, y vamos a sacar dos, si lo hacemos con reposición entonces habrá repetición, porque es posible sacar dos veces la misma bolita.

(Zylberberg, 2004)

Técnicas de Conteo.

Técnicas de conteo from Emma

Regresión Lineal por Mínimos Cuadrados

La regresión lineal, es una herramienta matemática que permite estimar el efecto de una variable sobre otra. Cuando el modelo resultante de esta estimación posee un alto grado de ajuste es posible incluso hacer predicciones puntuales.

De este modo, la idea principal es hallar un expresión matemática que describa la relación entre dos variables. Así, la complejidad matemática de la construcción del modelo y su adecuación dependerá de cuánto se conoce acerca del proceso que se está estudiando. También, de la cantidad de información disponible para estudiar empíricamente el modelo.

Por otra parte, el análisis de regresión se ocupa también de la validación del modelo propuesto. Por ello, se realizan contrastes de hipótesis sobre los parámetros del modelo. Cabe acotar, que todos estos aspectos son usados ampliamente por estadísticos y pueden ser profundizados en cursos de estadística o álgebra lineal.

Existen varias maneras de desarrollar tales modelos; una es la conocida como el método de mínimos cuadrados.

Mínimos Cuadrados.

Como medida de qué tan bien se ajusta el modelo 𝑦=𝑓(𝑥) a la colección de puntos {(𝑥1,𝑦1),(x2,y2),(x3,y3),…(x𝑛,y𝑛)} se pueden sumar los cuadrados de las diferencias entre los valores reales y los estimados para obtener una suma de los cuadrados de los errores. Así, la recta que mejor ajusta, y que pasa por el origen, se define como aquella que minimiza la suma del cuadrado de esas distancias.

A continuación, veremos cómo se realizan los cálculos para hallar una recta de regresión por mínimos cuadrados. Los ejemplos tienen un número limitados de datos, ya que están planteados a modo de ilustración.

Regresion por mínimos cuadrados from Emma

El alfabeto de las matemáticas: Los números.

Las matemáticas tal como las conocemos ahora, son producto del estudio y esfuerzo durante muchos siglos, de personas de muchas partes del mundo antiguo, contemporáneo y moderno; y los números que todos conocemos intuitivamente parecen ser la semilla de todo este universo de reglas y leyes que la mayoría desconoce pero que los envuelve en la cotidianidad al encender su computador, al realizar las compras, mirar la tv, escuchar la radio, enviar un mensaje, mirar su reloj, saber qué día es.

En esencia, los conceptos matemáticos se ciernen en última instancia al uso de números para explicar el mundo. Pueden incluso ser un modo universal del pensamiento humano. La historia sugiere que los números nacen de la necesidad de contar, de registrar bienes o acontecimientos celestes y cuantificarlos.

La historia de las matemáticas empieza con la invención de símbolos escritos para denotar números. En nuestra de necesidad de saber y hacer registros comenzamos a realizar marcas en huesos para contar, de esas marcas surgieron primitivos sistemas de conteo que se convirtieron en fichas en forma de conos, discos, cilindros y algunos en forma de pequeños huevos que bien podían representar productos básicos de la época: fanegas de grano, animales, jarras de aceite; según la arqueóloga Denise Schhmandt-Besserat. Las fichas más antiguas datan del 8.000 a.C. y fueron de uso común durante 5.000 años.

Historia de las matemáticas 

los últimos 10.000 años. Ian Stewarten

Schmandt-Besserat se dio cuenta de que estas fichas eran mucho más que un artificio de contabilidad. Eran un primer paso vital en el camino hacia los símbolos numerales, la aritmética y las matemáticas. Pero ese paso inicial fue bastante extraño, y parece dado por accidente.

Historia de las matemáticas  los últimos 10.000 años. Ian Stewarten

Las marcas se convirtieron en símbolos numerales, y mientras que los babilonios usaban una base sexagesimal (base 60) para sus sistemas de símbolos numéricos, los egipcios usaban la unidad, las decenas, centenas, unidades de mil y millón, y los hindúes usaban un sistema en base a 10 o decimal, el que adoptamos y conocemos actualmente, gracias a Leonardo de Pisa mejor conocido como Fibonacci; quien las introdujo en occidente en el s. XIII, momento en el que se utilizaban números romanos para llevar acabo la actividad comercial.

Sistema Babilonio

Símobolos Egipcios

Sistema Hindú

A partir de la introducción del sistema decimal hindú surge el sistema numérico que conocemos actualmente y que usamos de forma directa o indirecta en nuestro día a día.

Referencias:
(1) Historia de las matemáticas en los últimos 10.000 años. Ian Stewart
(2) The history of matemathics. Roger Cook.
(3) Ancient Indian Mathematics. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_numerals.html

Tim Berners-Lee, el padre de la Web

Como parte de un curso de desarrollo Web en la plataforma Actívate de Google, voy a realizar algunas publicaciones sobre informática. Una de las solicitudes es crear un blog, pero vamos, ya lo tengo, y sé cómo cambiar la apariencia por lo que me saltaré esa parte y me limitaré a colgar información sobre el padre de la Web, Sir Timothy "Tim" Berners-Lee que podemos encontrar en wikipedia.

Timothy "Tim" John Berners-Lee, KBE (Londres, Reino Unido, 8 de junio de 1955) es un científico de la computación británico, conocido por ser el padre de la Web. Estableció la primera comunicación entre un cliente y un servidor usando el protocolo HTTP en noviembre de 1989. En octubre de 1994 fundó el Consorcio de la World Wide Web (WWW) con sede en el MIT, para supervisar y estandarizar el desarrollo de las tecnologías sobre las que se fundamenta la Web y que permiten el funcionamiento de Internet.

Ante la necesidad de distribuir e intercambiar información acerca de sus investigaciones de una manera más efectiva, Berners-Lee desarrolló las ideas fundamentales que estructuran la web. Él y su grupo crearon lo que por sus siglas en inglés se denomina Lenguaje HTML (HyperText Markup Language) o lenguaje de etiquetas de hipertexto, el protocolo HTTP (HyperText Transfer Protocol) y el sistema de localización de objetos en la web URL (Uniform Resource Locator).

Es posible encontrar muchas de las ideas plasmadas por Berners-Lee en el proyecto Xanadú (que propuso Ted Nelson) y el memex (de Vannevar Bush).

También podemos consultar los siguientes artículos que son muy interesantes, acerca de la web y de cómo no confundirlo con Internet o como creador de internet, que no lo es. Además algo que no hace mención la Wiki es que Tim es Físico de formación.

• De la frustración de un informático entre físicos de partículas: así nació la Web
• El verdadero origen de Internet

Derivadas Parciales respecto a un punto X y respecto a un punto Y

A continuación, mostramos cómo se calcula una Derivada Parcial respecto de x y respecto de y

Derivadas Parciales from Emma

Método de Capas Cilíndricas

Cálculo de volumen capas from Emma

Cuáles son los criterios para Campos Conservativos en el espacio rotacional de un campo vectorial

Estos son los criterios para Campos Conservativos en el espacio rotacional de un campo vectorial

Rotacional de un campo vectorial from Emma