El Concepto de Límite, el fundamento del cálculo.

La definición de líımite que hoy se usa sorprende por su complicación conceptual y formal, caracterizada por un enunciado aparentemente indescifrable.

El concepto de líımite (siglo XIX) es posterior al de derivada (siglo XVII), aunque el primero se use para dar una definición rigurosa del segundo. Más aún, el concepto de líımite surgió precisamente para dar una justificación rigurosa a toda la estructura del cálculo diferencial e integral desarrollado durante el siglo XVIII. 

Newton intuyó que detrás del concepto de derivada se hallaba el más primitivo de límite, aunque sólo lo apuntó de forma rudimentaria. Así, en su obra maestra Philosophiae naturalis principia mathematica se encuentra el siguiente lema, en la sección 1 del Libro 1:

"Las cantidades, y las razones de cantidades, que en cualquier tiempo finito tienden continuamente a la igualdad, y antes de terminar ese tiempo se aproximan una a otra más que por ninguna diferencia dada, acaban haciéndose en última instancia iguales."

Otro intento de superar la idea de cantidad infinitesimal sobre la que se apoyaba el cálculo, se debe a un matemático francés, Jean le Rond D’Alembert (1717-1783). Así, en un artículo para la Encyclopédie sobre la obra de Newton De quadratura curvarum, D’Alember intentó justificar estos incrementos como líımites. Precisamente en la misma Encyclopédie y en un artículo titulado "Líımite", podemos encontrar una definición de líımite, imprecisa formalmente pero mucho m´as sugestiva que aquella primitiva de Newton:

"A una cantidad se la llama líımite de una segunda cantidad variable si la segunda puede aproximarse a la primera hasta diferir de ella en menos que cualquier cantidad dada, sin llegar nunca a coincidir con ella."

Es en el primer cuarto del siglo XIX cuando se consigue dar el impulso definitivo que culminara con
la definición precisa de la idea y el concepto de líımite para formar el fundamento riguroso que
el cálculo diferencial habíıa estado necesitando durante siglo y medio. Esencialmente este primer
impulso se debe a dos matemáticos que desarrollaron sus trabajos independientemente. El primero
cronológicamente fue el matemático checo Bernhard Bolzano (1781-1848). El otro, el matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857). A pesar de que Bolzano precedió a Cauchy en la elaboración y publicación de sus trabajos, su obra pasó desapercibida en su época: por una simple razón geográfica Bolzano escribió y publicó sus resultados en Praga mientras que Cauchy lo hacía en París. Esencialmente, ambos aritmetizaron el olvidado concepto de líımite de D’Alembert; así, en su libro Cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique (1821) Cauchy definió:

"Cuando los sucesivos valores atribuidos a una variable aproximan indefinidamente a un valor fijo tanto que al final difieren de él tanto como uno desea, esta última cantidad es denominada el limite de todas las otras."

Finalmente, fue el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897) quien culminó el proceso, aportando la definición de límite tal y como hoy la enseñamos. Weierstrass elimina los elementos imprecisos que aparecían en la definición de Cauchy tales como aproximan indefinidamente o difieren tanto como uno desea, y los sustituye por a ahora clásica expresión algebraica del épsilon y el delta.

 

Referencias
[1] Bell, E. T., Men of Mathematics, Ed. Touchstone, 1965, New York.
[2] Durán, A., Historia, con personajes, de los conceptos del cálculo, Ed. Alianza, 1996, Madrid.

Tomado de: Análisis Matemático I - Curso 2006/2007 - www.fmat.ull.es/˜ anamat